החל את לימודיו באוניברסיטה העברית בשנת הלימודים תשי"ז (1957-1956) בחוגים שפה וספרות ערבית והמזרח התיכון בעת החדשה. את תואר הבוגר קיבל בשני חוגים אלה ב-1961, וב-1964 את תואר מוסמך האוניברסיטה בתולדות האסלאם בהדגשה על ימי הביניים. בשנים אלה התמחה בין השאר בתולדות הבדואים ובתפקידם בתולדות ארץ ישראל, ואת עבודת המחקר לתואר מוסמך כתב על שבטי הבדואים בארץ ישראל במאות השמונה עשרה והתשע עשרה; מנחהו בעבודת הגמר היה פרופסור אוריאל הד.
למד בצורה מסודרת אפיגראפיה ערבית. בשנים 1968-1965 הוא שהה בלונדון, אוקספורד, פריז ודבלין כדי לאסוף חומר לעבודת הדוקטור בספריות שלהן. בלונדון הוא השתלם בתולדות האסלאם בימי הביניים אצל ברנרד לואיס ובפריס למד אפיגראפיה ערבית אצל גאסטון ווייט (Gaston Wiet), אחרון גדולי האפיגראפים של המאה ה-19. בלונדון הוא למד את המקצוע אצל דייויד ביוואר (David Bivar). בשובו ארצה ב-1968 הוא התמסר הן לסיום עבודת הדוקטור שלו והן להשקת מחקרו הגדול על האפיגראפיה הערבית של ארץ ישראל. מחקר זה התחיל בצורה מסודרת כבר בשנת 1968. עבודת הדוקטור שלו עסקה בנושא עליית העבאסים לשלטון ונערכה בהדרכתו של פרופסור דוד איילון. ב-1970 הוא הגיש את עבודת הדוקטור שלו והשתלב בסגל האקדמי של האוניברסיטה העברית בדרגת מרצה; בשנים 1972-1971 עשה פוסט-דוקטורט בלונדון.
ב-1975 נעשה מרצה בכיר, ב-1980 פרופסור חבר וב-1990 פרופסור מן המניין. בנוסף לכך שימש בין השנים 1997-1971 כפרופסור לשפה וספרות ערבית באוניברסיטת בר-אילן. עמד בראש החוג ללימודי האסלאם והמזרח התיכון בין 1982 ל-1984, והיה הראשון שהכניס את הוראת האפיגרפיה הערבית לאוניברסיטה העברית ולאוניברסיטת בר-אילן. בשנת 1998 הוא יזם את ייסוד הקתדרה הראשונה בעולם ללימודים בהאיים באוניברסיטה העברית בירושלים, והועמד בראשה. הוראתו האקדמית הקיפה את כל ההיסטוריה של ימי הביניים למן תקופת הנביא מוחמד ועד לתקופה העות'מאנית.
שימש פרופסור באוניברסיטה הבינלאומית לנדג שבשווייץ, עמית מחקר באוקספורד. היה פרופסור אורח באוניברסיטאות פרינסטון, מישיגן, קולומביה,ניו יורק, מרילנד, ויין סטייט ונורת'ווסטרן, וכן באוניברסיטאות פרטיות ביפן. הרצה בסנאט ובקונגרס בוושינגטון ובפרנקלין ומרשל קולג' בלנקסטר פנסילבניה ובפינלנד. בשנת 1972 נתמנה למנהל המדעי של יד יצחק בן צבי ובמשך שלוש שנות שירותו בתפקיד הוא יזם את ייסודו של כתב-העת "קתדרה", שעניינו מחקר ארץ ישראל.
בין 1978 ל-1979 כיהן בתפקיד היועץ לענייני ערבים לראש הממשלה מנחם בגין ונטל חלק בשלבים הראשונים של המשא ומתן לשלום עם מצרים. ב-1980 הוזמן לשמש חבר בוועדת השמות הממשלתית שבה הוא משרת עד היום, וב-1981 התמנה לחבר במועצה לביקורת סרטים.
פרופ' שרון עוסק בתחומים רבים הנוגעים לאסלאם ולדתות הקשורות בו: יהדות, נצרות והדת הבהאית. בתחום הדת הבהאית חקר את תולדות הדתות הבאבית והבהאית ואת יצירתם הרוחנית של מייסדיהן-נביאיהן. הוא עסק בהיסטוריה של ארץ ישראל תחת האסלאם ובאפיגרפי הערבית במיוחד זו של בארץ ישראל. במקביל הוא התמחה בארכיטקטורה של המדבר, נושא שהוא לימד כמה שנים באקדמיה בצלאל בירושלים. בתחום לימודי האסלאם הוא ריכז את עבודתו המדעית בחקר תולדות האסלאם בימי הביניים ובמיוחד בתולדות השיעה ובהתפתחותה של התיאולוגיה השיעית. כמו כן כתב חיבורים רבים שעניינם תפקידו של האסלאם בפוליטיקה המזרח תיכונית. בנוסף לכך עסק מעט גם בפרשנות המקרא.